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線性代數 席南華
課程介紹
線性代數是理工類學科的基礎,被廣泛地應用在數學、物理學及各種技術學科中,主要處理的是線性關系,即數學對象之間的關系是以一次形式來表達。
本課程通過講解向量、向量空間、線性變換、線性方程組等內容,加之理論與實戰相結合,帶領同學們攻占線性代數的高峰,暢游數學奧秘的海洋。
教師團隊

席南華 院士

單位:中國科學院

課程介紹

 

線性代數是理工類學科的基礎,被廣泛地應用在數學、物理學及各種技術學科中,主要處理的是線性關系,即數學對象之間的關系是以一次形式來表達。

本課程通過講解向量、向量空間、線性變換、線性方程組等內容,加之理論與實戰相結合,帶領同學們攻占線性代數的高峰,暢游數學奧秘的海洋。

簡談代數

代數是研究數、數量、關系、結構與代數方程(組)的通用解法及其性質的數學分支。初等代數一般在中學時講授,介紹代數的基本思想:研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什么,以及了解變量的概念和如何建立多項式并找出它們的根。代數的研究對象不僅是數字,而是各種抽象化的結構。在其中我們只關心各種關系及其性質,而對于“數本身是什么”這樣的問題并不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。

代數的起源

如果我們對代數符號不是要求像現在這樣簡練,那么,代數學的產生可上溯到更早的年代。

西方人將公元前三世紀古希臘數學家丟番圖看作是代數學的鼻祖,而真正創立代數的則是古阿拉伯帝國時期的偉大數學家默罕默德·伊本·穆薩(我國稱為“花剌子密”,生卒約為公元780-850年)。而在中國,用文字來表達的代數問題出現的就更早了。

“代數”作為一個數學專有名詞、代表一門數學分支在我國正式使用,最早是在1859年。那年,清代數學家李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書,譯本的名稱就叫做《代數學》。當然,代數的內容和方法,我國古代早就產生了,比如《九章算術》中就有方程問題。

代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代,當時的人們發展出了較之前更進步的算  術系統,使其能以代數的方法來做計算。經由此系統地被使用,他們能夠列出含有未  知數的方程并求解,這些問題在今日一般是使用線性方程、二次方程和不定線性方程  等方法來解答的。相對地,這一時期大多數的埃及人及西元前1世紀大多數的印度、  希臘和中國等數學家則一般是以幾何方法來解答此類問題的,如在蘭德數學紙草書、繩法經、幾何原本及九章算術等書中所描述的一般。希臘在幾何上的工作,以幾何原本為其經典,提供了一個將解特定問題解答的公式廣義化成描述及解答代數方程之更一般的系統之架構。

代數(algebra)導源于阿拉伯語單字“al-jabr”,其出自 al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala這本書的書名上,意指移項和合并同類項之計算的摘要,其為波斯回教數學家花拉子米于820年所著。Al-Jabr此詞的意思為“重聚”。傳統上,希臘數學家丟番圖被認為是“代數之父”,的成果到今日都還有用途,且他更給出了一個解答二次方程的一詳盡說明。而支持丟番圖的人則主張在Al-Jabr里出現的代數比在Arithmetical里出現的更為基本,且Arithmetical是簡字的而Al-Jabr卻完全是文辭的。另一位波斯數學家歐瑪爾·海亞姆發展出代數幾何出,且找出了三次方程的一般幾何解法。印度數學家摩訶吠羅和婆什迦羅與中國數學家朱世杰解出了許多三次、四次、五次及更高次多項式方程的解。

  代數更進一步發展的另一個關鍵事件在于三次及四次方程的一般代數解,其發展于16世紀中葉。行列式的概念發展于17世紀的日本數學家關孝和手中,并于十年后由萊布尼茨繼續發展著,其目的是為了以矩陣來解出線性方程組的答案來。加布里爾·克拉默也在18世紀時在矩陣和行列式上做了一樣的工作。抽象代數的發展始于19世紀,一開始專注在今日稱為伽羅瓦理論及規矩數的問題上。

線性代數的定義與歷史

概念

線性代數是代數學的一個分支,主要處理線性關系問題。線性關系意即數學對象之間的關系是以一次形式來表達的。例如,在解析幾何里,平面上直線的方程是二元一次方程;空間平面的方程是三元一次方程,而空間直線視為兩個平面相交,由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。關于變量是一次的函數稱為線性函數。線性關系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。

所謂“線性”,指的就是如下的數學關系:   。其中,f叫線性算子或線性映射。所謂“代數”,指的就是用符號代替元素和運算,也就是說:我們不關心上面的x,y是實數還是函數,也不關心f是多項式還是微分,我們統一把他們都抽象成一個記號,或是一類矩陣。合在一起,線性代數研究的就是:滿足線性關系   的線性算子f都有哪幾類,以及他們分別都有什么性質。

歷史

線性代數作為一個獨立的分支在20世紀才形成,然而它的歷史卻非常久遠。“雞兔同籠”問題實際上就是一個簡單的線性方程組求解的問題。最古老的線性問題是線性方程組的解法,在中國古代的數學著作《九章算術·方程》章中,已經作了比較完整的敘述,其中所述方法實質上相當于現代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換,消去未知量的方法。

由于費馬和笛卡兒的工作,現代意義的線性代數基本上出現于十七世紀。直到十八世紀末,線性代數的領域還只限于平面與空間。十九世紀上半葉才完成了到n維線性空間的過渡。

隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入,行列式和矩陣在18~19世紀期間先后產生,為處理線性問題提供了有力的工具,從而推動了線性代數的發展。向量概念的引入,形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論。因此,向量空間及其線性變換,以及與此相聯系的矩陣理論,構成了線性代數的中心內容。

矩陣論始于凱萊,在十九世紀下半葉,因若當的工作而達到了它的頂點。1888年,皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維線性空間。托普利茨將線性代數的主要定理推廣到任意體(domain)上的最一般的向量空間中。線性映射的概念在大多數情況下能夠擺脫矩陣計算而不依賴于基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環作為算子之定義域,這就引向模(module)的概念,這一概念很顯著地推廣了線性空間的理論和重新整理了十九世紀所研究過的情況。

“代數”這個詞在中文中出現較晚,在清代時才傳入中國,當時被人們譯成“阿爾熱巴拉”,直到1859年,清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數學”,之后一直沿用。

線性代數的學術地位

線性代數在數學、物理學和技術學科中有各種重要應用,因而它在各種代數分支中占居首要地位。在計算機廣泛應用的今天,計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其理論和算法基礎的一部分。線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯系,從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等,對于強化人們的數學訓練,增益科學智能是非常有用的。隨著科學的發展,我們不僅要研究單個變量之間的關系,還要進一步研究多個變量之間的關系,各種實際問題在大多數情況下可以線性化,而由于計算機的發展,線性化了的問題又可以被計算出來,線性代數正是解決這些問題的有力工具。線性代數的計算方法也是計算數學里一個很重要的內容。

線性代數的含義隨數學的發展而不斷擴大。線性代數的理論和方法已經滲透到數學的許多分支,同時也是理論物理和理論化學所不可缺少的代數基礎知識。

“以直代曲”是人們處理很多數學問題時一個很自然的思想。很多實際問題的處理,最后往往歸結為線性問題,它比較容易處理。因此,線性代數在工程技術和國民經濟的許多領域都有著廣泛的應用,是一門基本的和重要的學科。

事實上,微積分“以直代曲”的思想就是將整體非線性化為局部線性的一個經典的例子,盡管高等數學在定義微分時并沒有用到一點線性代數的內容。許多非線性問題的處理――譬如流形、微分幾何等,最后往往轉化為線性問題。包括科學研究中,非線性模型通常也可以被近似為線性模型。隨著研究對象的復雜化與抽象化,對非線性問題線性化,以及對線性問題的求解,就難免涉及到線性代數的術語和方法了。從這個意義上,線性代數可以被認為是許多近、現代數學分支的共同基礎。

參考資料













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